«MATEMÁTICA NÃO-STANDARD,
UMA INTRODUÇÃO COM APLICAÇÕES»*
LIMITAÇÕES DOS FORMALISMOS
B1. Introdução
«(...) Desde finais do século XIX a Matemática é dominada por duas grandes linhas de força: o método formal-axiomático e a teoria dos conjuntos, que, combinados, originaram os grandes sistemas fundacionais para a matemática dita «clássica» (excluindo, pois, a intuicionista/construtivista) − Frege-Russell & Whitehead, Zermelo-Fraenkel-Skolem, Bourbaki, Von Neumann-Bernays-Gödel, Morse-Kelley, Quine, Lawvere-Tierney e Conway, para só falar dos mais conhecidos (Hatcher [146] descreve e compara diversos destes sistemas, em linguagem quanto possível uniforme).
Mas para além da matemática intuicionista/construtivista (de que existem, aliás, diversas variantes), que Snapper [299], por exemplo, considera dever-se incorporar no grande edifício da Matemática do nosso tempo, outras correntes e desenvolvimentos de índole tanto teórica (diversificação das linguagens formais não clássicas e avanços significativos em diversos ramos da Lógica Matemática) como prática ou pragmática (combinatória finita e infinita, computação e complexidade computacional, geometria fractal e outras modelizações de fenómenos físicos deterministas e aleatórios) vêm engrossar e, quiçá, alterar profundamente as concepções, métodos e formalismos da matemática tradicional.
No plano filosófico, há um melhor conhecimento das razões profundas das rupturas que as polémicas de fundamentos do princípio do século [passado] pressagiaram e há, sobretudo, a consciência do limiar de novas e fecundas sínteses para as quais devemos estar atentos.
Nesta exposição lançamos um olhar rápido sobre alguns acontecimentos e tendências nas últimas décadas que julgamos relevantes para a evolução e as novas sínteses em curso. Mas começamos por recordar alguns antecedentes históricos marcantes, por ordem aproximadamente cronológica, tanto mais importantes quanto é certo que, frequentemente, são mal interpretados, quando não simplesmente omitidos dos relatos vulgarizadores.
B2. Os pioneiros da Análise e a questão dos infinitesimais
Temas centrais de todas as polémicas de fundamentos são a resolução das dicotomias finito/infinito (presumivelmente o problema central dos fundamentos da matemática [111 p.211], discreto/contínuo e ainda aritmética/geometria. Esta última é sobretudo pertinente no tempo da Grécia antiga, pois que à concepção discreta de número se opõe a intuição do contínuo geométrico das magnitudes ou cinemático do movimento, daí a primeira crise nos fundamentos provocada pela descoberta dos incomensuráveis, os paradoxos de Zenão, etc., se tivermos em conta as limitações da concepção pitagórica do universo.
A intuição geométrico do contínuo, na possibilidade de construções com régua e compasso (por exemplo, quando em jogo propriedades de continuidade, como na proposição 1 do livro I dos Elementos de Euclides − a construção de um triângulo equilátero, dado um lado), na existência do "quarto proporcional", na aproximação de linhas curvas por poligonais e de superfícies esféricas por poliedrais, base de O Método de Arquimedes (...). Curiosamente, alguns matemáticos modernos, como R. Thom ([313] pp. 181-182) defendem o primado intelectual do contínuo sobre o discreto, qual intuição primórdia kantiana. No extremo oposto, há que referir os neo-intuicionistas, como Brower, para quem só o infinito potencial, originado por operações mentais discretas, é legítimo. A originalidade desta posição, mas não o seu fundamento, remonta a Aristóteles, como é sabido, que já distinguia com clareza filosófica os infinitos potencial e actual. (...)
* Excertos do livro Matemática Não-Standard - Uma Introdução com Aplicações da autoria de Augusto J. Franco de Oliveira** e Imme P. Van der Berg***, publicado em Novembro de 2007 pela Fundação Calouste Gulbenkian, pp.354-355.
** Augusto J. Franco de Oliveira nasceu, em Lisboa, em 1944. Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, fez um Mestrado em Lógica Matemática na Universidade de Leeds, em Inglaterra. Doutorou-se, em 1990, pela Universidade de Lisboa, com uma tese sobre Fundamentos da Matemática Não-Standard, matéria sobre a qual escreveu alguns livros e que difundiu em cursos e conferências em várias universidades. Foi Professor da Faculdade de Ciências até 1996, ano em que transitou para o Departamento de Matemática da Universidade de Évora, do qual foi Presidente. Actualmente jubilado desta Universidade, continua a intervir como incansável divulgador desta interessante área da matemática contemporânea. Entre outras publicações, destacamos Teoria dos Conjuntos (Escolar Editora) e Lógica e Aritmética (Gradiva).
*** Imme P. Van der Berg nasceu em Zwolle (Holanda), em 1952. Licenciou-se na Universidade de Groningen e fez um Mestrado em Amsterdam. Em 1984, doutorou-se na Universidade de Estrasburgo com um estudo sobre Matemática Não-Standard. Publicou vários artigos sobre Fundamentos da matemática não-standard e suas aplicações nas áreas da Análise Assimptótica, da Estocástica e das Equações Diferenciais ordinárias e parciais. Autor de vários livros sobre estas temáticas, como, por exemplo, Principles of Infinitesimal Stochastic and Financial Analysis e Nonstandard Asymptotic Analysis, é, actualmente, Professor Associado do Departamento de Matemática da Universidade de Évora.
PARA UMA NOVA FILOSOFIA DA MATEMÁTICA
− Uma abordagem de A Experiência Matemática*
«Le bon critique est celui qui raconte les aventures
de son âme au milieu des chefs-d'oeuvre»
Anatole France
Que um ponto fique, desde já assente: quando abrimos A Experiência Matemática, da autoria de Philip J. Davis e Reuben Hersh, não estamos perante um livro qualquer – estamos perante o que classificaríamos de «obra-prima», não fosse esta expressão estar tão gasta e banalizada que se torna incapaz de comunicar a sensação de deslumbramento que o livro provoca.
Como descrever essa sensação? Vemos bafientas ideias feitas desmoronarem-se como castelos de cartas ante o sopro vivificante que percorre estas páginas? Sem dúvida. Mas, mais do que isso, vemos acutilantes gumes abrirem fendas na durísssima carapaça onde se encerra o quase absoluto vazio da falta de ideias da comunidade matemática actual. Vemos correr de novo, por essas fendas, uma seiva cuja corrente fora dramaticamente interrompida pela chamada «crise de fundamentos» do princípio do século e pela falsa resposta que a filosofia formalista lhe deu.
Abrimos os olhos semicerrados pela miopia das últimas dezenas de anos e vemos a matemática como ela nunca devia ter deixado de ser vista: como um organismo vivo em permanente mutação, de longuíssimas raízes mergulhadas num passado milenar, que não pode ser renegado, e estendendo-se em direcção a um futuro que não está pré-determinado – pois este organismo é também profundamente humano e comunga, portanto, da mais peculiar característica do humano – a imprevisibilidade.
Mas deixemos as alturas para as quais o arrebatamento nos lançou e procuremos descer até uma atmosfera menos rarefeita – e mais propícia à análise crítica – na tentativa de dar ao leitor um panorama do livro e na esperança de o levar à sua leitura.
Será possível levar a cabo esta tarefa de um modo sistemático? Bem, sistemático é algo que, à primeira vista, A Experiência Matemática não é, parecendo deliberadamente optar por um estilo impressionista, que vai sugerindo, mais do que mostrando, inquirindo, mais do que afirmando, num subtil jogo cujo elemento estratégico primordial é a surpresa, e que não cabe em esquemas rígidos, pois o âmago do que se pretende atingir é o que há de menos nítido e de mais difuso – é o próprio mistério que envolve a actividade do matemático. Mesmo assim, pensamos conseguir descortinar um plano por detrás deste fogo de artifício de ideias aparentemente dispersas.
Logo nas primeiras linhas do Prefácio é colocada uma série de questões: «Qual é a natureza da matemática? Qual é o seu significado? Quais são as suas preocupações? Qual é a sua metodologia? Como se cria? Como se aplica? Como se adapta à diversidade da experiência humana? Que benefícios dela decorrem? Que malefícios? Que importância poderá atribuir-se-lhe?».
Vemos assim, desde o início, lançadas as bases de um cerco total ao conceito de «matemática». Ao longo de todo o livro, este cerco ir-se-á apertando, até culminar, não numa resposta definitiva (afirmar qualquer coisa de definitivo sobre a matemática não estaria de acordo com a própria visão que dela têm os autores), mas com o apontar de um possível caminho, apenas esboçado, para uma nova filosofia da matemática. E, aqui como em todo o livro, os autores não têm nada a esconder – as epígrafes que precedem a obra anunciam já o seu desfecho.
Temos uma citação de Platão – «O conhecimento a que a geometria aspira é o conhecimento do eterno» – e outra de Lakatos (inequivocamente o «ídolo» de Davis e Hersh) – «Aquela por vezes cristalina [...] e por vezes difusa substância [...] que é [...] a matemática». A primeira remete para a filosofia inconsciente e não assumida da maioria dos matemáticos, que será dialecticamente reavaliada, trazida das profundezas do inconsciente para a luz do dia e assumida numa forma mitigada e aberta à discussão.
A segunda tem a carga simbólica de um estandarte, valendo sobretudo pelo nome do seu subscritor – a principal influência da obra é desde logo assumida – e é reforçada pela terceira, do romancista Boris Pasternak: «Aquilo que é regular, ordenado, factual, nunca basta para abranger toda a verdade: a vida extravasa sempre a borda de qualquer taça».
A diversidade das questões colocadas no Prefácio, acima referidas, configura a estrutura de A Experiência Matemática: esta ciência será encarada de todos os ângulos possíveis, exploradas serão todas as vias que a podem pôr em contacto com a realidade palpável, num esforço gigantesco para decifrar a sua essência – que transcenderá esta teia de relações com o mundo exterior sem, no entanto, delas ser independente.
A melhor maneira de dar início a uma obra com os objectivos acima delineados é, obviamente, a de enunciar a definição mais corrente de matemática, aquela que poderia ser «adequada às páginas de um dicionário». Como seria de esperar, caso contrário o livro estaria concluído ao fim das primeiras linhas, anuncia-se que essa definição – «ciência da quantidade e do espaço» – terá que ser posta em causa.
Rapidamente, através do exemplo da geometria, na qual o método tem sido considerado tão importante, pelo menos, como o objecto de estudo, chega-se a nova definição, talvez um pouco estranha para o leitor mais desprevenido: «a matemática é a ciência de inferir condições necessárias» (C. S. Peirce, meados do século XIX). Se a primeira definição era demasiado restritiva, a última peca pelo defeito oposto. Algures entre as duas, situar-se-ia a definição correcta, se tal coisa existisse. Mas a tese defendida é a da subjectividade do conceito de matemática, conceito irredutível a qualquer síntese exaustiva.
No resto do primeiro capítulo, «A Paisagem Matemática», o cerco começa a fechar-se. Somos confrontados com algumas manifestações «concretas» de matemática e postos perante a dicotomia matemática criada pelo homem / matemática pré-existente, com o objectivo de nos fazer interrogar sobre o seu estatuto ontológico.
É-nos apresentada uma resenha histórica brevíssima, através da qual surge o contraste entre a actividade matemática actual e aquela que se processava em tempos não muito recuados – começa a surgir o factor humano... Uma secção aparentemente inócua, sobre «As ferramentas do ofício», acaba por ser quase inteiramente dedicada à avaliação do papel dos computadores na investigação matemática, abrindo uma nova frente de combate: a dicotomia entre matemática construtivista e não construtivista.
A propósito da gigantesca quantidade de conhecimento matemático acumulada nos nossos dias, é feita uma incursão sobre outro problema de crucial importância: o modo como esse conhecimento se estrutura e evolui. Deparamos depois com uma situação quase caricata, a que os autores chamam «dilema de Ulam», numa referência ao primeiro matemático que para ela chamou a atenção.
O dilema de Ulam coloca-se em termos muito simples: uma estimativa aproximada mostra que são publicados por ano 100 000 a 200 000 novos teoremas; «se o número de teoremas é superior ao que qualquer ser humano poderá examinar, a quem poderemos confiar o cargo de juiz do que é "importante"?». Note-se que a ênfase está na faceta da matemática como actividade humana – de qualquer outra perspectiva, o problema nem se colocaria.
Problema que não é, de modo nenhum, meramente académico – alguém tem que decidir que linhas de investigação serão financiadas... A conclusão mais relevante é a de que «problemas inevitáveis do quotidiano da prática da matemática conduzem a questões fundamentais de epistemologia e ontologia» (os sublinhados são nossos).
Vaie-se cimentando a ideia de matemática como um todo complexo em que prática e sentido estão inextrincavelmente entrelaçados. O capítulo termina com uma curta reflexão sobre o futuro da matemática, com mais uma mão cheia de ideias estimulantes (é impressionante o elevadíssimo valor que assume, neste livro, o número de ideias por centímetro quadrado).
Pensamos que não se torna necessário fazer para os restantes sete capítulos um resumo deste tipo. O leitor já terá ficado com uma noção dos moldes em que a obra está concebida. Limitar-nos-emos, então, a referir alguns dos pontos mais relevantes que se nos deparam até ao final.
O segundo capítulo, «A variedade da experiência matemática», começa em tom de sátira, com uma caricatura brilhante do «matemático ideal» (no sentido, não de matemático perfeito, mas de estereótipo do matemático contemporâneo). O tema central desta sátira, ilustrada por impagáveis diálogos imaginários que o «matemático ideal» entretém com diversos tipos de pessoas, é a falta de consciência que esse mesmo matemático tem da natureza da sua própria actividade, e do estatuto do mundo que é objecto do seu estudo, deficiência descoberta pelos autores à sua própria custa, como confessam na Introdução.
Saliente-se a referência ao que poderíamos chamar de falta de rigor da própria noção de demonstração rigorosa, a crítica à «filosofia» típica (ou falta dela...) do matemático actual e a abordagem da questão da «existência» em matemática, retomando uma interrogação do primeiro capítulo e preparando novas incursões neste campo, absolutamente central. De sublinhar que a sátira ao «matemático ideal» termina com uma nota de simpatia para com esta bizarra espécie, na qual os próprios autores humildemente se incluem.
Não resistimos a citar: «Naturalmente, nada disto prova que estamos errados na percepção de que possuímos um método seguro para a descoberta de verdades objectivas. Devemos, contudo, parar um momento para nos apercebermos de que, fora do nosso conventículo, muito do que fazemos é incompreensível. É impossível convencer um céptico confiante de que aquilo de que falamos faz sentido, quanto mais de que "existe"».
Se, contra o que nos tínhamos proposto, ainda nos detivemos com alguma demora na secção acabada de resumir, é porque ela se reveste de um significado muito especial: foi a tomada de consciência, por parte de Davis e Hersh, do quase absurdo da sua actividade, que os levou a meter ombros à tarefa de escrever A Experiência Matemática. Retomemos agora o projecto de dar uma visão mais global da obra.
Se o que se pretende é atingir a essência mais profunda da matemática, há uma velhíssima questão que não pode ser ignorada e que, naturalmente, os autores não ignoram: como explicar a adequação da matemática à realidade exterior? Dentro do espírito vivo e aberto que caracteriza o livro, nada melhor, para começar, do que ouvir o que tem um físico a dizer sobre o assunto. O sumário da entrevista (pp.57-63) a William F. Taylor (nome fictício, por os autores temerem não ter transmitido «completa e fielmente as posições» do entrevistado) é um belo repositório das ideias sobre a matemática mais espalhadas entre os cientistas não matemáticos.
O tema é mais tarde desenvolvido pelos próprios autores na secção «Por que funciona a matemática: uma resposta convencionalista», onde se começa pela clássica resposta segundo a qual «Deus é matemático», passando-se de seguida à exposição do ponto de vista pragmático, que vê o homem a forçar a matemática a ajustar-se à realidade e não a descobrir a matemática na realidade, e cujos adeptos substituíram a palavra «teoria» pela palavra «modelo». Ainda sobre esta questão, parece-nos oportuno recuar umas páginas para citar: «Richard Courant escreveu, há muitos anos, que o rio da matemática, se separado da física, poderia dividir-se em muitos regatos isolados e eventualmente secar por completo».
A mesma questão da aplicabilidade da matemática converte-se, por uma pequena mudança de perspectiva, na questão da utilidade da matemática. Entre as duas posições extremas constituídas pelo «hardyismo» e pelo «maoismo», defendendo a primeira que a matemática deve ser encarada como uma arte, tanto mais nobre quanto mais inútil, e a segunda que só deve interessar a matemática que responda a exigências de produção (!), é advogado um meio termo, uma posição de equilíbrio, que é «aquilo que se pretende, na matemática, como em tudo». De notar que esta procura do equilíbrio entre extremos dialecticamente antagónicos é uma constante de toda a obra, sendo recorrentes as situações antinómicas.
Das várias relações postas a descoberto entre a matemática e outras esferas do humano, destacamos o que é dito sobre as relações entre matemática e religião. Um elo óbvio entre as duas está já implícito na afirmação comentada pelos autores, e acima citada, segundo a qual «Deus é matemático». Mas podemos ir muito mais longe, e analisar até duas possibilidades diferentes. Por um lado, a matemática como religião.
Veja-se, a este propósito, a extensíssima citação de I. R. Shafarevitch (pp. 63-65), um representante da escola neoplatonista, a qual, no fim de contas, mais não faz do que retomar uma tradição velha de mais de dois milénios, pois «os filósofos gregos viam a matemática como uma ligação entre a teologia e o mundo físico perceptível». Por outro lado, a teologia feita em moldes matemáticos, isto é, segundo o paradigma lógico-. dedutivo. Aqui, remetemos para a secção «A abstracção e a teologia escolástica», onde se faz o estudo da obra de Saadia Gaon, filósofo e teólogo judeu do século X. A este propósito, é ainda de citar, por exemplo, parte de uma passagem de Herman Weyl: «a própria investigação puramente matemática (...) eleva o espírito humano a uma proximidade do divino maior do que é alcançável por qualquer outro meio» (pág. 112). Na mesma linha estão muitos outros pensadores, como Nicolau de Cusa, Kepler ou Novalis (cf. pp. 113 e 114). Preferimos, no entanto, terminar a referência a esta questão dando a palavra aos próprios autores: «Na medida em que tem como objecto um conhecimento ideal e estuda as relações entre esse ideal e o mundo tal como o conhecemos, a matemática tem algo de comum com uma religião» (p.112). E um pouco mais adiante: «Poderemos concluir que a matemática é uma forma de religião, talvez mesmo a verdadeira religião?» (pág. 116).
Deixando as relações da matemática com o ambiente que a cerca e mergulhando na matemática em si, Davis e Hersh guiam-nos com perícia através de um mundo que conhecem admiravelmente bem, sobretudo desde que tiveram a coragem de dar o difícil salto intelectual que consistiu em colocarem-se de fora desse mundo e passarem a vê-lo do exterior e não do interior (cf. a Introdução). As três principais componentes do modus operandis do matemático – abstracção, generalização, formalização – são cuidadosamente avaliadas e ponderadas. De passagem, as posições filosóficas dos autores vão sendo reafirmadas e ilustradas: a quase inevitabilidade do platonismo em matemática, numa ou noutra forma; a condenação da filosofia formalista; a necessidade ou, pelo menos, o interesse de um estudo «psico-histórico» da génese dos conceitos matemáticos. Nesta viagem ao centro da matemática, guiados pelos autores, passamos de seguida à questão do significado que a palavra «existir» assume no seu âmbito, questão para cuja importância já fora chamada a atenção; retomamos também, de forma mais extensa, a reflexão sobre o conceito de demonstração (terminando a secção que lhe é dedicada a esse conceito com três parágrafos admiráveis, atestando uma magnífica capacidade de análise/síntese, e repletos de sensatez e abertura de espírito); debruçamo-nos, a propósito do conceito ideal e abstracto de «linha recta», sobre a dicotomia intuição/formalismo, saindo reforçadas, mais uma vez, as limitações do último; abordamos a teoria das probabilidades, com toda a sua aura de mistério e paradoxo; confrontamo-nos com a incontornável importância dos critérios estéticos em matemática; espantamo-nos com uma inesperada analogia entre física e matemática, ao constatarmos que também a última busca muitas vezes extrair uma ordem, essencial mas oculta, de um caos aparente (o que só vem reforçar a tese platónica); deparamos com mais uma dicotomia, aquela existente entre «matemática dialéctica» e «matemática algorítmica»; encontramos, finalmente, dois motores do progresso da matemática – a busca de explicação para certos milagres matemáticos (caso, por exemplo, de métodos que funcionam bem, mesmo violando regras aparentemente bem estabelecidas) e a ânsia de unificar.
Com isto, estão cobertos os primeiros quatro capítulos do livro. Correndo o risco de este texto assumir as características de um movimento uniformemente acelerado, vamos ser ainda mais breves na apreciação dos restantes quatro. De qualquer modo, o essencial já ficou dito, pois ao longo da obra, como ao longo de uma sinfonia, voltam a surgir os mesmo temas, repetidamente retomados, embora sempre trabalhados de forma diferente. Do quinto capítulo, salientamos apenas que a escolha dos tópicos que são objecto de exposição mais detalhada é altamente criteriosa.
Quanto ao capítulo dedicado ao ensino e aprendizagem da matemática, digamos que devia ser lido não só por muitos professores, como também pelos responsáveis por programas, que fariam melhor, uns e outros, em dar mais ênfase ao desenvolvimento histórico das ideias, que é, quase sempre, pura e simplesmente ignorado, e em mudar a sua atitude do «oiçam, digo-lhes que é assim» para o «venham, vamos raciocinar em conjunto», como escrevem os autores. (Não podemos aqui deixar de fazer justiça a alguns professores que tivemos, quer no ensino liceal, quer no universitário, que seguiam a segunda linha de actuação). O capítulo acaba por deslizar para questões mais gerais, nesta incessante busca do verdadeiro significado do fazer matemática.
No capítulo «Da certeza à falibilidade», são abordados, finalmente, de forma explícita, os problemas centrais da filosofia da matemática. As posições «ortodoxas», ou «oficiais», são meticulosamente desmontadas... E vamos desembocar em Lakatos, na secção «Lakatos e a filosofia da dúvida», de leitura verdadeiramente empolgante.
Todo o livro está construído no sentido de alcançar aqui o seu clímax, e resta perguntar: por que razão não dão os autores a obra por concluída neste ponto? A resposta não nos parece difícil de encontrar. A referida secção não apresenta conclusões definitivas (o próprio Lakatos faleceu demasiado cedo para poder dar por concluída a sua obra) e, assim, o derradeiro capítulo apresenta-se como ponto de partida para futuros desenvolvimentos desta nova e ainda emergente filosofia da matemática, desenvolvimentos esses, quem sabe, a serem levados a cabo por algum leitor mais audaz, que aceite o desafio que, no fundo, nos lança a todos este livro extraordinário.
Gostaríamos de dar aqui por concluída esta nossa breve apreciação mas, infelizmente, não podemos terminar sem apontar, pelo menos, alguns dos erros mais graves da tradução portuguesa. Em primeiro lugar, a absurda designação, ao longo de todo o livro, de «análise não standardizada» para o que já tem a designação universalmente aceite de «análise não standard». Também «rede» em vez de «reticulado» (p.45), «equações de funções» em vez de «equações funcionais» (p.97), «campo» em vez de «corpo» (p.187), Meno em vez de Ménon (p.305) e, por várias vezes, «números infinitos» ou «pontos infinitos» em vez de «infinitos números» ou «infinitos pontos, respectivamente (pp.150, 203, por duas vezes, 245 e 252), «Pelo contrário» em vez de «Reciprocamente» (p.278).
Também de referir a frequente tradução de «eventually» por «eventualmente», quando o correcto é «finalmente» ou «mais tarde ou mais cedo». É desnecessário indicar uma a uma diversas gralhas que, no entanto, a Gradiva deverá ter o cuidado de corrigir numa futura reedição.
Para não terminarmos em tom menor, mas antes com uma nota positiva, concluamos dizendo que a leitura deste livro nos fez passar a gostar ainda mais de matemática!
Fernando Henrique de Passos**
* Philip J. Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, Gradiva, Lisboa, 1995.
** Artigo publicado na revista Gazeta do Mundo de língua portuguesa, nº 7, Primavera/Verão 1996, pp.53-59.
«A GEOMETRIA DE RIEMANN»*
«(…) Imaginemos um mundo unicamente povoado de seres sem espessura; e suponhamos que estes animais «infinitamente achatados» existem num mesmo e único plano de que não podem sair. Admitamos ainda que este mundo está bastante afastado de outros para se subtrair à influência deles. E, uma vez que estamos no campo das hipóteses, não nos é difícil dotar estes seres de raciocínio e julgá-los capazes de construir uma geometria. Nestas condições, por certo só atribuirão duas dimensões ao espaço.
Mas suponhamos agora que esses seres imaginários, continuando despidos de espessura, têm a forma de uma figura esférica e não de uma figura plana e que existam todos sobre uma mesma esfera, sem a poderem abandonar. Que espécie de geometria poderiam construir? Primeiro, é evidente que atribuiriam ao espaço apenas duas dimensões; o que será para eles o mais curto caminho entre dois pontos, sobre a esfera, será um arco de grande círculo; numa palavra, a sua geometria será uma geometria esférica.
Chamarão espaço a esta esfera de que não podem sair e sobre a qual acontecem todos os fenómenos de que tomam conhecimento. O seu espaço, portanto, não terá limites, porque numa esfera podemos sempre caminhar em frente sem jamais se ter necessidade de parar, e no entanto, será finito; nunca se encontrará o fim, mas poder-se-á dar a volta à esfera.
Ora bem, a geometria de Riemann é a geometria esférica estendida a três dimensões. Para a construir, o matemático alemão teve de lançar pela borda fora não só o postulado de Euclides, mas ainda o primeiro axioma: Por dois pontos pode passar uma recta e uma só.
Sobre uma esfera, por dois pontos dados, só se pode fazer, em geral, passar um grande círculo (o qual, como acabámos de ver, desempenharia a função da recta para os nossos seres imaginários), mas há uma excepção: se os dois pontos dados são diametralmente opostos, poder-se-á fazer passar por estes dois pontos uma infinidade de grandes círculos.
Igualmente na geometria de Riemann (pelo menos numa das suas formas), por dois pontos só passará em geral uma única recta; mas há casos excepcionais em que por dois pontos poderá passar uma infinidade de rectas. (…)»
HENRI POINCARÉ
* Excertos do livro de Henri Poincaré, Ciência e Hipótese, Galeria Panorama, 1970, pp. 57-58.
«OS SONHOS DA RAZÃO»*
«(...) De uma maneira geral, toda a matemática pode ser caracterizada pela interacção de objectos matemáticos, como os números ou a multiplicidade de geometrias, por um lado, e os seus morfismos − a maneira como são transformadas pelas funções matemáticas −, pelo outro. Objectos e morfismos − é esse o tópico central de toda a matemática. Até ao início deste século, os matemáticos debruçavam-se, sobretudo, sobre os objectos e as suas variedades − o que "ali" existia no domínio da matemática. Por exemplo, no século XIX foram descobertos novos tipos de números − os quaterniões e os números complexos foram estudados em profundidade. Foram descobertas novas geometrias não euclidianas e exploradas as suas propriedades. Neste século, no entanto, não são tanto os objectos da matemática que ocupam o centro das atenções, mas sim os seus morfismos. A relação abstracta entre as entidades matemáticas tornou-se o objecto de estudo principal e as entidades, em si, passaram a desempenhar um papel secundário. Os matemáticos aperceberam-se, finalmente, do poder de abstracção − de certo modo, os morfismos definem os objectos. Alguns morfismos, por exemplo, deixam os objectos invariantes, como é o caso da rotação do círculo em torno do seu centro, e isso pode ser usado na definição do objecto. É a maneira como os objectos se transformam que define o que eles são. Os poderosos conceitos de morfismo e de função foram explorados exaustivamente.
(...)O cantinho familiar que servia de domínio à matemática cresceu até quase à perda do controle, sendo ridícula qualquer pretensão de um lógico que pretenda ser capaz de impor a ordem neste estado de coisas; é impossível alguém manter-se a par de todo o trabalho.
É então que surge Nicolas Bourbaki, o grande matemático francês do século XX, herdeiro legítimo de Hilbert e Poincaré, que aparece em cena sob a capa do urbanista que vem trazer a ordem a este caos. Bourbaki, com a autoconfiança própria de um visionário, propõe-se rever e transformar nada menos do que a totalidade do corpo da matemática moderno. Nada na matemática lhe é estranho. Independentemente da forma como se vê Bourbaki, a sua obra, nas palavras do matemático Paul Halmos, é tal que "sem [ela], a matemática do século XX seria, para melhor ou para pior, muito diferente do que é hoje". Emil Artinprestam tributo muito maior a Bourbaki: "A nossa época assiste à criação de uma obra monumental: uma exposição da totalidade da matemática contemporânea. Além disso, esta exposição é realizada de uma maneira tal que a ligação comum entre todos os ramos da matemática se torna evidente, que o enquadramento que suporta toda a estrutura não se irá tornar obsoleto a curto prazo e que as ideias novas poderão facilmente ser absorvidas. Bourbaki atinge este objectivo tentando apresentar cada conceito com a maior generalidade e abstracção possíveis."
Quem é Nicolas Bourbaki? Bourbaki é um grupo de matemáticos franceses de renome que, apercebendo-se da impossibilidade de um só indivíduo atingir uma compreensão sinóptica de toda a matemática, formaram uma colectividade e escreveram (pelo menos de início) sob o pseudónimo de Nicolas Bourbaki. O grupo Bourbaki estava ligado por uma filosofia comum da matemática (essencialmente abstracção e generalidade) e por um desejo comum de se divertirem um pouco. Já nos anos 30, o enérgico Nicolas Bourbaki escrevia artigos matemáticos que revelavam uma imaginação e profundidade incríveis, surpreendendo toda a comunidade matemática. Um novo génio havia surgido. De início, a sua identidade era desconhecida (excepto dos seus editores, Hermann & Co.), mas sabemos agora quem foram os seus membres fondateurs: Henri Cartan, Claude Chevallier, Jean Delsartre, André Weil − a nata dos matemáticos franceses da sua geração. Bourbaki pôs aos ombros a tarefa enciclopédica de cobrir a totalidade da matemática nos seus Éléments (assim apropriadamente denominados em homenagem à obra de Euclides), cujos volumes ainda hoje são publicados. Há muito que os membros iniciais foram substituídos e reforçados por outros − é uma grande honra fazer parte do Bourbaki. É costume encontrarem-se em França, no campo, durante o verão e por vezes em Paris, a fim de realizarem o seu trabalho conjunto e planearem volumes futuros. Durante estas sessões é evidente um grande esprit de corps. Recordando esses tempos, Cartan comentava: "Era necessário a cada membro esquecer-se da sua especialidade durante um certo período; eramos forçados a aprender tudo de novo, a partir do zero. Cada problema tinha de ser discutido em conjunto e, de acordo com isso, a versão final só podia surgir na sequência desses discussões."»
HEINZ R. PAGELS
* Heinz R. Pagels, Os Sonhos da Razão, (1ª edição inglesa, 1988), Editorial Gradiva, Colecção Ciência Aberta, nº 41, Lisboa, 1990, pp. 376, 377, 378, 379.
ANTÓNIO MONTEIRO OU A MATEMÁTICA EXILADA*
O nosso século XX não foi um tempo áureo da ciência. A biografia do matemático António Aniceto Monteiro, nascido em 1907 na antiga Moçâmedes (Angola), mostra bem as dificuldades que os poucos cientistas portugueses viveram nesse tempo. Monteiro teve, em 1945, de se exilar para o Brasil.
Daí, devido a perseguição por parte da Embaixada de Portugal (como era longo o braço perseguidor!) teve de se transferir para a Argentina, onde viveu na maior parte da sua vida. Já depois da Revolução de 1974 esteve algum tempo em Portugal para depois voltar para a Argentina, onde veio a falecer em 1980.
Comemoraram-se por isso recentemente os cem anos do seu nascimento. E a Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM) publicou uma bem documentada fotobiografia, com textos em português e espanhol, sobre o seu fundador. Monteiro foi, de facto, um dos criadores daquela sociedade em 1940, tendo sido escolhido por unanimidade como seu primeiro secretário-geral.
A abrir o livro “António Aniceto Monteiro. Uma fotobiografia a várias vozes” escreve o actual presidente daquela sociedade, o matemático Nuno Crato, numa nota em conjunto com Catarina Santa-Clara (responsável pelas comemorações do referido centenário):
”A SPM foi fundada graças aos esforços concertados desta geração [a geração de António Monteiro]. Mas houve nela um homem que pela sua energia, visão e persistência se salientou entre os demais, um homem que em 1937 esteve presente na criação da Portugaliae Mathematica, em 1939 no lançamento da Gazeta de Matemática e em 1940 na fundação da sociedade.
Um homem que em todos estes momentos, tal como noutros, percebeu sempre que a criação de um movimento matemático moderno implicava a internacionalização da investigação, a modernização do ensino, o incremento da divulgação científica e a atracção dos jovens para a matemática”.
Além de um grande matemático – a qualidade da sua obra é certificada pelo facto de em 2006 no Congresso Internacional de Matemática em Madrid (a maior reunião de matemáticos do mundo) ter sido lançado a obra em oito volumes The works of António A. Monteiro, com versão em CD/DVD – António Monteiro foi um grande impulsionador da matemática em Portugal. Deixou obra: não só publicações como discípulos e instituições!
A Portugaliae Mathematica, revista para trabalhos de investigação, ainda hoje se publica. A Gazeta de Matemática, revista para trabalhos pedagógicos e de divulgação, também (acaba de me chegar às mãos o último número, que é também o último que sai sob a direcção de Graciano de Oliveira, sendo o próximo director, Jorge Buescu).
E a SPM aí está, mais activa do que nunca, com numerosas intervenções, entre as quais se destacam as Olimpíadas de Matemática, uma competição juvenil de resolução de problemas de matemática. Se a ciência matemática em Portugal não foi brilhante, imagine-se o que não teria sido sem a visão esclarecida e a acção pioneira de António Monteiro...
Mas em que circunstâncias António Monteiro foi obrigado a exilar-se? Convém antes contar como foi a sua formação. Nasceu em Angola porque o seu pai era militar de Caçadores e estava aí colocado. Mas Monteiro ficou órfão aos oito anos e a sua mãe trouxe-o para Lisboa, tendo-o colocado no Colégio Militar.
Ele é pois um dos mais famosos “meninos da Luz” de que aquela instituição se orgulha. Cedo revelou a sua apetência pelo estudo, em particular pelas ciências e dentro destas a matemática. Entre 1925 e 1930 faz o curso superior na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (ainda antes de terminar o curso casa-se com Lídia Torres, depois Monteiro, de quem teve dois filhos, e que o acompanharia em toda a sua vida – a fotobiografia mostra imagens desde o namoro até à festa dos 50 anos de casados).
Logo depois de terminado o curso e com uma bolsa do Instituto de Alta Cultura faz trabalhos de doutoramento em Paris, na Sorbonne, sob a direcção de Maurice Fréchet. Está em Paris entre 1931 e 1936.
A seguir é o regresso a Portugal e todo o dinamismo que Nuno Crato e Catarina Santa-Clara sumariam. Não dizem tudo na sua nota, mas o livro diz: logo em 1936 Monteiro funda em Lisboa, com António da Silveira e Manuel Valadares, o Núcleo de Matemática, Física e Química, procurando implantar uma cultura de investigação em ciências exactas.
Recebe passados dois anos o Prémio Artur Malheiros da Academia de Ciências de Lisboa, inicia em Lisboa o Seminário de Análise Geral e o Centro de Estudos Matemáticos e, em 1943 funda, com Ruy Luís Gomes e Mira Fernandes, a Junta de Investigação Matemática. Foi, em tempo de guerra, uma guerra à passividade nacional na área das ciências!
O extraordinário é que, apesar do seu evidente mérito, o jovem matemático não encontra emprego numa Escola Superior. Entre 1938 e 1943, ensinou sempre sem remuneração regular, ganhando a vida com explicações particulares e trabalhando num catálogo bibliográfico no Instituto de Alta Cultura.
O que impedia a transmissão do seu saber nas escolas públicas? Pois o sábio não quis assinar um papel de fidelidade ao Estado Novo, que era indispensável para se ser funcionário público. O seu amigo Armando Girão conta na fotobiografia a inteligente resposta de Monteiro:
“Perante a teimosia do Aniceto perguntei-lhe por fim se ele afinal era comunista e por isso não assinava o papel? – E logo o Aniceto retorquiu: - Não sou comunista nem acredito que venha a sê-lo – mas a declaração diz que “não sou nem serei...”, e não aceito limitações à minha inteligência!”
O destino inevitável era o exílio. Com ele era também a matemática portuguesa que se exilava. Numa carta datado do Porto, em 1944, António Monteiro (que esteve no Porto cerca de um ano em 1943 a dar seminários a convite da Junta de Investigação Matemática) escreve ao físico Guido Beck (um dos físicos judeus que passou meteoricamente por Portugal durante a Segunda Guerra):
“Estou-lhe muito reconhecido. É absolutamente necessário que eu consiga sair deste país, onde já não posso viver. Fiz preparativos para sair do meu país para sempre”.
A cátedra de Análise Superior no Rio de Janeiro foi-lhe concedida graças à recomendação não só de Guido Beck, mas também dos já, na altura famosíssimos, Albert Einstein e John von Neumann. No Rio, Monteiro não pára o seu frenesim científico: participa na fundação do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas.
Não lhe tendo sido renovado o contrato, por razões políticas, vai para a Universidade Nacional de Cuyo, San Juan, Argentina. Sempre muito activo, é convidado em 1956 para professor na nova Universidade Nacional del Sur (Bahía Branca), tendo recusado convites similares nas Universidades de Buenos Aires e de Santiago do Chile. Aí revelou mais uma vez os seus dotes de organizador, que acresciam aos seus talentos de cientista.
A convite do seu amigo, Ruy Luís Gomes, outro matemático perseguido em Portugal (tal como Bento de Jesus Caraça), foi professor em Bahía Branca entre 1958 e 1961. Em 1975, Monteiro jubila-se mas, espantosamente, o reitor, invocando a lei antiterrorista então em vigor na Argentina, proíbe a sua entrada na Universidade.
Só em 1977 Monteiro volta a Portugal, tendo sido contratado pelo Instituto Nacional de Investigação Científica e distinguido com o Prémio Gulbenkian de Ciência e Tecnologia. De regresso à Argentina, onde a situação política tinha acalmado, morre em Bahía Branca.
O presente livro, com uma óptima qualidade gráfica, embora não seja ainda uma biografia definitiva, é uma fonte preciosa.
Nele vemos um retrato a lápis que o matemático fez da sua esposa, em 1931, e lemos alguns poemas que escreveu em 1959.
Um deles intitula-se “Saudade” e dele transcrevo uma quadra que resume a sua vida:
“Vejo os amigos ausentes
as lutas os sofrimentos
Vejo as esperanças perdidas
e cem vezes renascidas”.
CARLOS FIOLHAIS
* Este artigo de Carlos Fiolhais, «António Monteiro ou a Matemática Exilada», foi transcrito, na íntegra, do jornal O Primeiro de Janeiro, Suplemento «das Artes das Letras» de 2 de Julho de 2007.
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